Basis (matematikk)

En basis for et rom i matematikk er en mengde objekter som kan brukes til å generere alle objekter i rommet. Måten objektene genereres på fra objekter i basisen vil avhenge av strukturen i rommet, det vil si hvilke regler som gjelder for å kombinere objekter og på den måten danne nye objekter.

En basis er komplett i den forstand at alle objekter i rommet kan genereres ut fra basisen. En basis er også minimal i den forstand at den er en minste mengde som trengs for å generere alle andre objekter i rommet. Et objekt i basisen kan ikke genereres fra de andre objektene i basisen.

Et eksempel på en basis finner en i bruken av de tre primærfargene rød, grønn, blå i RGB-fargemodellen. I denne fargemodellen kombineres primærfargene ved additiv fargesyntese til å beskrive andre farger i fargespekteret. Alle tre primærfargene er nødvendige for å kunne generere hele fargespekteret. En basisfarge som rød kan ikke beskrives ved hjelp av de to andre fargene grønn og blå.

En basis for et vektorrom er grunnlaget for definisjonen av dimensjon og koordinater. Ulike basis-definisjoner inngår i mange deler av matematikk, for eksempel i algebra, i funksjonalanalyse, i geometri og i topologi.

Algebraisk basis

La $V$ være et vektorrom over en kropp $\mathbb {K}$. En endelig mengde av vektorer $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ kalles lineært uavhengig dersom ligningen

$\alpha _{1}v_{1}+\cdots \alpha _{n}v_{n}=0$

kun har den trivielle løsningen $\alpha _{1}=\cdots \alpha _{n}=0$. En mengde $S\subseteq V$ kalles lineært uavhengig hvis hver endelige delmengde av $S$ er lineært uavhengig. En mengde $B\subseteq V$ kalles basis for $V$ hvis $B$ er lineært uavhengig og

${\text{span}}\,B=\left\{\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}:\alpha _{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {K} ,v_{1},\ldots ,v_{n}\in B\right\}=V.$

Man bruker innimellom uttrykkene algebraisk basis eller Hamel-basis for å skille en slik basis fra andre basisbegreper, eksempelvis en Schauder-basis (se nedenfor). Det følger av Zorns lemma at alle vektorrom har en basis. Man kan også vise at alle basiser for et gitt vektorrom har samme kardinalitet. Man kan derfor definere dimensjonen til $V$ til å være kardinaliteten til en basis for rommet. Eksempelvis er $\{(1,0),(0,1)\}$ en basis for $\mathbb {R} ^{2}$, mens $\{(1,1),(0,2),(3,0)\}$ ikke er en basis for $\mathbb {R} ^{2}$ da den ikke er lineært uavhengig.

Mer generelt kan man for en modul $M$ over en ring $R$ definere en basis for $M$ over $R$ som ovenfor. I motsetning til et vektorrom behøver ikke en modul over en ring nødvendigvis ha noen basis. En modul som har en basis kalles fri.

Schauder-basis for et Banach-rom

En Schauder-basis for et Banach-rom $V$ er en tellbar mengde vektorer $\{v_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ med egenskapen at for enhver vektor $v\in V$ eksisterer det en følge $(\beta _{n})_{n=1}^{\infty }$ av skalarer slik at

$\lim _{n\to \infty }\lVert v-\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}v_{i}\rVert =0$

Ikke alle Banach-rom har en Schauderbasis. En Schauder-basis vil ofte være mer velegnet enn en algebraisk basis for analyse av et uendeligdimensjonalt vektorrom. Dette kommer av at Hamel-basiser for uendeligdimensjonale Banach-rom minst har kardinaliteten til kontinuumet, og således er vanskelige å arbeide med i praksis. Den polske matematikeren Juliusz Schauder arbeidet med funksjonalanalyse og har fått navnet sitt knyttet til denne basisklassen.

Ortonormal basis i indreproduktrom

I indreproduktrom spiller ortonormale basiser en spesiell rolle. En mengde $S$ av vektorer i et indreproduktrom $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ kalles ortonormal dersom

$\langle u,v\rangle ={\begin{cases}1,\quad {\text{hvis }}u=v,\\0,\quad {\text{ellers.}}\end{cases}}$

En basis som er ortonormal, kalles en ortonormal basis.

Mange ortonormerte basiser har fått egne navn, spesielt knyttet til vektorrom av polynom:

• Chebyshev-polynom, oppkalt etter Pafnuty Chebyshev
• Hermitske polynom, oppkalt etter Charles Hermite
• Jacobi-polynom, oppkalt etter Carl Gustav Jacob Jacobi
• Laguerre-polynom, oppkalt etter Edmond Laguerre
• Legendre-polynom, oppkalt etter Adrien-Marie Legendre

Basis i en topologi

En basis i en topologi er et sett av åpne mengder slik at en hver annen åpen mengde i topologien kan uttrykkes som en union av mengdene i basisen. Basen er sagt å generere topologien. En og samme topoplogi kan ha flere alternative basiser.

Litteratur

• Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6. 

• E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. ISBN 0-00-434347-6. 

• Thomas L. Saaty (1967). Modern nonlinear equations. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-64232-1.  [Også 1981-utgave]

• John G. Hocking, Gail S. Young (1961). Topology. Mineola, N.Y: Dover Publications. ISBN 0-486-65676-4.